Cuando trata de calcular el volumen de un sólido enfrenta el mismo tipo de problema que al determinar áreas. Intuitivamente sabe lo que significa un volumen, pero es necesario aclarar la idea usando el cálculo con el fin de dar una definición exacta de volumen.
Empiece con un tipo simple de sólido llamado cilindro, (o mejor dicho) un cilindro recto. Según se ilustra en la figura 1(a), un cilindro está limitado por una región plana
, que se llama base, y una región congruente 
en un plano paralelo. El cilindro consta de todos los puntos en los segmentos rectilíneos que son perpendiculares a la base y unen a 
con 
. Si el área de la base es 
y la altura del cilindro, es decir, (la distancia desde 
hasta 
) es 
, por lo tanto el volumen 
del cilindro se define como
Empiece con un tipo simple de sólido llamado cilindro, (o mejor dicho) un cilindro recto. Según se ilustra en la figura 1(a), un cilindro está limitado por una región plana
, que se llama base, y una región congruente 
en un plano paralelo. El cilindro consta de todos los puntos en los segmentos rectilíneos que son perpendiculares a la base y unen a 
con 
. Si el área de la base es 
y la altura del cilindro, es decir, (la distancia desde 
hasta 
) es 
, por lo tanto el volumen 
del cilindro se define como
En particular, si la base es una circunferencia de radio 
, después el cilindro es un cilindro circular cuyo volumen es 
[véase figura 1(b)], y si la base es un rectángulo de largo 
y ancho 
, en seguida el cilindro es una caja rectangular (también se le llama paralelepípedo rectangular) cuyo volumen es 
[véase figura l(c)].
, después el cilindro es un cilindro circular cuyo volumen es 
[véase figura 1(b)], y si la base es un rectángulo de largo 
y ancho 
, en seguida el cilindro es una caja rectangular (también se le llama paralelepípedo rectangular) cuyo volumen es 
[véase figura l(c)]. 
Figura 1
En el caso de un sólido 
que no es un cilindro, primero "corte" a 
en trozos y haga que cada trozo se aproxime a un cilindro. Estime el volumen de 
sumando los volúmenes de los cilindros. Obtiene el valor del volumen exacto de 
a través de limitar un proceso en el cual el número de trozos se vuelve grande.
Inicie cortando a
con un plano, y obtenga una región plana que se denomina sección transversal de 
. Sea 
el área de la sección transversal de 
en un plano 
perpendicular al eje 
y que pasa por el punto 
, donde 
. (Véase figura 2. Imagine que corta a 
con un cuchillo a través de 
y calcule el área de esta rebanada.) El área de la sección transversal 
variará cuando 
se incrementa desde 
hasta 
.
que no es un cilindro, primero "corte" a 
en trozos y haga que cada trozo se aproxime a un cilindro. Estime el volumen de 
sumando los volúmenes de los cilindros. Obtiene el valor del volumen exacto de 
a través de limitar un proceso en el cual el número de trozos se vuelve grande.Inicie cortando a
con un plano, y obtenga una región plana que se denomina sección transversal de 
. Sea 
el área de la sección transversal de 
en un plano 
perpendicular al eje 
y que pasa por el punto 
, donde 
. (Véase figura 2. Imagine que corta a 
con un cuchillo a través de 
y calcule el área de esta rebanada.) El área de la sección transversal 
variará cuando 
se incrementa desde 
hasta 
. 
Figura 2
Divida 
en 
"rebanadas" del mismo ancho 
mediante los planos 
, 
,… (Para rebanar el sólido imagine que está rebanando una hogaza de pan.) Si elige puntos muestrales 
en 
, puede tener un valor aproximado de la i-ésima rebanada 
(la parte de 
que queda entre los planos 
y 
) con un cilindro cuya base tiene un área 
y "altura" 
. (Véase figura 3.)
en 
"rebanadas" del mismo ancho 
mediante los planos 
, 
,… (Para rebanar el sólido imagine que está rebanando una hogaza de pan.) Si elige puntos muestrales 
en 
, puede tener un valor aproximado de la i-ésima rebanada 
(la parte de 
que queda entre los planos 
y 
) con un cilindro cuya base tiene un área 
y "altura" 
. (Véase figura 3.)
Figura 3 
El volumen de este cilindro es 
de modo que una aproximación a la concepción intuitiva del volumen de la i-ésima rebanada 
es.
de modo que una aproximación a la concepción intuitiva del volumen de la i-ésima rebanada 
es.
Al sumar los volúmenes de las rebanadas, llega a un valor aproximado del volumen total, es decir, a lo que piensa intuitivamente que es un volumen:
Esta aproximación parece ser cada vez mejor cuando 
. (Considere que las rebanadas cada vez son más delgadas.) Por lo tanto, defina al volumen como el límite de estas sumas cuando 
. Pero debe reconoce el límite de las sumas de Riemann como una integral definida y por eso tiene la definición siguiente.
DEFINICIÓN DE VOLUMEN Sea
un sólido que está entre 
y 
. Si el área de la sección transversal de 
en el plano 
, a través de 
y es perpendicular al eje 
, es 
, donde 
es una función continua, por lo tanto el volumen de 
es
. (Considere que las rebanadas cada vez son más delgadas.) Por lo tanto, defina al volumen como el límite de estas sumas cuando 
. Pero debe reconoce el límite de las sumas de Riemann como una integral definida y por eso tiene la definición siguiente.DEFINICIÓN DE VOLUMEN Sea
un sólido que está entre 
y 
. Si el área de la sección transversal de 
en el plano 
, a través de 
y es perpendicular al eje 
, es 
, donde 
es una función continua, por lo tanto el volumen de 
es
Cuando aplica la fórmula del volumen 
es importante recordar que 
es el área de una sección transversal móvil que se obtiene al cortar a través de 
con un plano perpendicular al eje 
.
Observe que, en el caso de un cilindro, el área de la sección transversal es constante:
para toda 
. De este modo, la definición de volumen da 
; esto concuerda con la fórmula 
.
es importante recordar que 
es el área de una sección transversal móvil que se obtiene al cortar a través de 
con un plano perpendicular al eje 
.Observe que, en el caso de un cilindro, el área de la sección transversal es constante:
para toda 
. De este modo, la definición de volumen da 
; esto concuerda con la fórmula 
.