Demuestre que el volumen de una esfera de radio 
es
es
SOLUCIÓN: Si coloca la esfera de modo que su centro está en el origen.
Después el plano 
corta la esfera en un círculo cuyo radio (según el teorema de Pitágoras, es 
. De este modo el área de la sección transversal es
corta la esfera en un círculo cuyo radio (según el teorema de Pitágoras, es 
. De este modo el área de la sección transversal es
Si aplica la definición del volumen con 
y 
, tiene
y 
, tiene 
En la figura 2 se ilustra la definición de volumen cuando el sólido es una esfera de radio 
. De acuerdo con el resultado del ejemplo 1, sabe que el volumen de la esfera es 
. En este caso, las rebanadas son cilindros circulares, o discos, y las tres partes de la figura 2 muestran las interpretaciones geométricas de las sumas de Riemann.
. De acuerdo con el resultado del ejemplo 1, sabe que el volumen de la esfera es 
. En este caso, las rebanadas son cilindros circulares, o discos, y las tres partes de la figura 2 muestran las interpretaciones geométricas de las sumas de Riemann.
cuando 
, 
y 
si escoge los puntos muestrales 
como los puntos medios 
. Observe que cuando incrementa la cantidad de cilindros de aproximación, las sumas correspondientes de Riemannn se vuelven más cercanas al volumen verdadero.
, 
y 
si escoge los puntos muestrales 
como los puntos medios 
. Observe que cuando incrementa la cantidad de cilindros de aproximación, las sumas correspondientes de Riemannn se vuelven más cercanas al volumen verdadero.
Figura 2, Aproximaciones del volumen de una esfera con radio 1